2017年10月07日

問題の答え2

お待たせいたしました。 前回の問題の答えです。

問題のおさらいです。

【第1問】
一度に言える数字は5つまで。
30を言った方が負け。

このルールでも先攻は必ず勝てます。
最初にどう言って、そのあとどのように
答えればいいでしょうか?

【第2問】
一度に言える数字は6つまで。
50を言った方が負け。

このルールでは先攻、後攻
どちらが必ず勝てるといえるでしょうか?
またその答え方はどうすればいいでしょうか?


まずは、軽く正解を。
【第1問】は
先攻1,2,3,4,5 と
答えて、あとは後攻の人がどう答えようと
相手+自分=6になるように答えます。
つまり、それぞれの回で先攻の人の
答える(最後の)数字は
5,11,17,23,29 となり
後攻はあえなく30になってしまいます。

【第2問】は
先攻がいくら考えて最初に答えても
後攻は、1回目の回答で7にすればOK
その後は、相手+自分=7になるように答えます。
つまり、それぞれの回で後攻の人の
答える(最後の)数字は
7,14,21,28,35,42,49 となり
先攻はあえなく50になってしまいます。

ということで、100%先攻が勝てるわけではなく
後攻が勝てる場合もあります。

ここからが数学です。
では、どういう数字の時に
先攻が勝てるのか、後攻が勝てるのかを
考えてみましょう。
以下は私の考えです。

言ったら負けになる数字をNとします。
一度に言える数字をP(個)とします。
NもPも自然数です。(N>P≧2)

このゲームでのポイントは
N−1を言った方が勝ち。
相手と自分で調整して和をP+1にできる。

まずは後攻が勝ちになるパターンは
N−1の約数がP+1であることです。

ちょっとわかりにくいかもしれませんが
上の第2問だと
N=50 P=6 ですが
N−1=49 
P+1=7 なので条件を満たします。

逆に第1問は
N−1=29
P+1=6 なのでアウト。

まとめると
P+1がN−1の約数ならば後攻が必ず勝てる。
それ以外であれば先攻が必ず勝てる。
です。



さらに突っ込むと
N−1が素数ならば
後攻はN−1を作ることができないので
その時点で先手の勝ち決定です。
途中で若干組み合わせを変更しても
先攻の方に調整されてしまいます。
(ただし先攻に知識がある場合ですが)

つまり、30を言ったら負けゲームは
1度に言える数が何であろうと
絶対に先攻が勝てるのです。
(30−1が素数だからです)
またしても夢も希望のない結論を
出してしまいました。

この手の問題は学校でも(たぶん)習わないし
問題集にも(たぶん)載っていませんが
こういうのを考えるのが数学の楽しいところです。

なおここまでの説明は、若干寝ぼけながら
考えて書いているので間違っていたら
こっそりと指摘してください。


ちなみにこの問題
10年くらい前に、塾のHPで数学の問題を
一般向けに発表していた時に出した問題です。
こちら

条件はやや違いますが
ほぼ同じ問題です。

posted by Mさん at 23:55| Comment(0) | TrackBack(0) | 塾のこと
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